Jouer maintenantVoici 3 petits jeux de logique pour secouer nos neurones
Un train quitte la gare de Brest à 9h00 en direction de Rennes. Il roule en moyenne à 120 km/h.
Un autre train quitte la gare de Rennes à 9h00 en direction de Brest. Il roule en moyenne à 90 km/h.
La distance entre Brest et Rennes est de 242 km.
Votre mission est la suivante : déterminer lequel des deux trains sera le plus près de Brest au moment où ils se croiseront.
Un train au départ de Nantes embarque des passagers. À la première gare, 1 passager sur 6 descend du train. À la deuxième gare, 1 passager sur 5 quitte le convoi. Puis à la troisième gare, 1 passager sur 4 descend du train. À la quatrième gare, 1 passager sur 3 descend du train. Puis encore 1 passager sur 2 à la gare suivante.
Votre mission : déterminer le nombre minimum de passagers qui doivent monter à bord du train en gare de Nantes afin qu'à l'arrivée au terminus au moins 1 passager en descende.
Imaginez que nous sommes au milieu du XXe siècle et qu'un voyageur part de Paris pour Orléans. Des trains partent à intervalle régulier sur cette ligne et notre voyageur se demande combien d'autres trains il croisera durant son voyage. Plus précisément, un train part de Paris vers Orléans à chaque heure pleine, puis toutes les vingt minutes. Il en va de même dans le sens opposé, d’Orléans à Paris. Le trajet entre ces deux villes dure exactement une heure.
Votre mission : aider notre voyageur à calculer combien de trains il va croiser durant son voyage entre Paris et Orléans.
Jeu n°1 : nous vous invitons à relire attentivement la consigne. Si la réponse ne vous semble pas évidente, relisez-la encore une fois • Jeu n°2 : appelons N le nombre de passagers au départ du train. Au départ de la première gare, il ne reste à bord du train que 5N/6 passagers. Au départ de la deuxième gare, il ne reste que 5N/6 - N/6 = 4N/6 passagers, et ainsi de suite • Jeu n°3 : pensez à compter les trains déjà en route avant le départ du voyageur, puis ceux qui partent en même temps que lui et enfin ceux qui partent pendant son trajet.
Solutions des énigmes logiques
Il s'agit d'un grand classique des jeux de logique. Par définition, lorsque 2 trains se croisent, ils se situent... exactement au même endroit. Ainsi, quel que soit l'endroit en question, le train en provenance de Brest et celui en provenance de Rennes sont situés à la même distance de Brest.
La réponse est donc : les 2 trains.
Appelons N le nombre de passagers montant à bord au départ du train. Lorsque le convoi quitte la première gare, il ne reste à bord que 5*N/6 passagers, c'est-à-dire N - N/6. Au départ de la deuxième gare, il ne reste que 5N/6 - N/6 passagers = 4*N/6 passagers. La gare suivante réduit encore le nombre de passagers d'un quart, c'est-à-dire de N/6, portant le nombre restant de passagers à 3*N/6. On poursuit ainsi de suite jusqu'à ce qu'il ne reste à bord du train que N/6 passagers et on arrive alors au terminus de la ligne. La question posée exige qu'au moins 1 passager descende du train, ce qui impose que la quantité N/6 soit au moins égale à 1. Si N/6 = 1, alors N = 6.
Le train embarque donc 6 personnes et à chaque gare, 1 personne descend du train.
Commençons par bien étudier les horaires des trains. Un train part de Paris à chaque heure pleine (par exemple à 8h00, à 9h00, etc.) et toutes les 20 minutes (à 8h20, à 8h40, etc.). Il en est de même pour les trains circulant d'Orléans vers Paris.
Intéressons-nous à présent à la durée du trajet qui est exactement d'une heure.
Déterminons les trains que notre voyageur va croiser pendant son trajet d'une heure :
• Les trains qui étaient déjà en route avant qu’il ne quitte Paris,
• Les trains qui partent pendant qu’il est en train de voyager.
En définitive, il convient donc de compter :
• Les trains qui ont quitté Orléans dans l'heure précédent son départ,
• Le train qui part d'Orléans au moment même où il part,
• Les trains qui partent d'Orléans durant l'heure que dure son trajet.
Procédons au calcul précis sachant qu'en une heure, 3 trains partent d'Orléans (1 toutes les 20 minutes) :
• 3 trains sont partis dans l'heure précédent le départ de notre voyageur,
• 1 train part exactement au moment où notre voyageur quitte la gare de Paris,
• 3 trains partent durant son trajet.
Au total, notre voyageur croisera donc 3 + 1 + 3 = 7 trains circulant dans le sens opposé.
Pour vous distraire, imaginez à présent que le trajet dure 1h30... combien de trains notre voyageur croisera-t-il alors ?
