Jouer maintenantVoici une égalité mathématique, fausse. À vous de rétabir une égalité valide en déplaçant seulement 1 allumette. Vous pouvez également rétablir une égalité valide en déplaçant seulement 2 allumettes (plusieurs réponses sont alors possibles). À vous de jouer !
Cette équation, 5 - 6 = 8, est évidemment fausse... Dans un premier temps, essayez de déplacer une allumette (à gauche ou à droite du signe égal) pour rétablir une égalité valide. Attention : il doit s'agir d'une égalité et non d'une inégalité, c'est-à-dire que vous ne pouvez pas barrer le signe égal (≠).
Parmi les fidèles lectrices et lecteurs de la Gazette, une demande émerge : "proposez-nous des activités logiques plus difficiles". Ces fameuses activités logiques ne sont pas du goût de tout le monde mais pour les plus courageux, voici une question amusante et particulièrement efficace pour secouer les neurones...
On dispose de 200 tiroirs, initialement fermés, portant un numéro, de 1 à 200.
200 corbeaux attendent sagement, perchés sur un fil électrique, chacun portant un dossard sur lequel est écrit son numéro, de 1 à 200.
Le premier corbeau, portant le dossard n°1, s'envole et ouvre un à un tous les tiroirs.
Le deuxième corbeau, portant le dossard n°2, s'envole et referme les tiroirs portant un numéro pair (2, 4, 6...).
Le troisième corbeau s'envole et change l'état (ouvert ou fermé) des tiroirs portant un numéro divisible par 3.
Le quatrième corbeau s'envole et change l'état (ouvert ou fermé) des tiroirs portant un numéro divisible par 4.
Chacun à tour de rôle, les autres corbeaux procèdent de même, ouvrant ou fermant les tiroirs dont le numéro est divisible par le nombre écrit sur leur dossard.
Question : une fois que les 200 corbeaux ont terminé leur travail, combien de tiroirs sont ouverts ? Lesquesl précisément ?
En déplaçant 1 allumette, à droite du signe égal se trouve le chiffre 0. En déplaçant 2 allumettes, à droite du signe égal se trouve le chiffre 0 ou le chiffre 8.
Solution
Au moins 2 solutions existent. Voici la première :
Et voici la seconde (à vous cette fois d'identifier les 2 mouvements d'allumettes) :
On commence par remarquer que le tiroir portant le numéro n sera manipulé autant de fois qu'il a de diviseurs entiers. Ainsi, le tiroir n°n ne restera ouvert lorsque tous les corbeaux auront terminé leur travail que s'il possède un nombre impair de diviseurs. Tout nombre entier s'écrit comme le produit de ses facteurs premiers : n = p1α1 x p2α2 x prαr. Par exemple, 18 = 2 x 32. Dès lors, la formule permettant d'obtenir le nombre de diviseurs de n est : (α1+1) × ⋯ × (αr+1). Pour que celui-ci soit impair, il faut que tous ses facteurs (αi+1) le soient également. Il convient donc que les αi soient tous des nombres pairs. Ainsi, le tiroir portant le numéro n restera ouvert si et seulement si n est un carré parfait, par exemple, 1, 4, 9... En fin de compte, les 14 tiroirs suivants resteront ouverts après le passage des 200 corbeaux : {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196}.
