Jouer maintenantVoici 2 questions de logique pour secouer nos neurones
On dispose de 5 chapeaux, 3 bleus et 2 rouges.
Dans un long couloir, on installe 3 chaises en file indienne. Sur chaque chaise s'assied une personne. Sur la tête de chaque personne, on pose un chapeau choisi au hasard parmi les 5 dont on dispose.
La première personne (A) ne voit pas la couleur de son chapeau mais elle voit la couleur des 2 chapeaux portés par les 2 autres personnes assises devant elle.
La deuxième personne (B) ne voit pas la couleur de son chapeau mais elle voit la couleur du chapeau porté par la personne assise devant elle.
On demande à la première personne (A) si elle connaît la couleur de son chapeau et elle répond "Non".
On demande à la deuxième personne (B), qui a entendu la réponse de A, si elle connaît la couleur de son chapeau et elle répond "Non".
On demande à la troisième personne (C), qui a entendu les réponses de A et de B, si elle connaît la couleur de son chapeau et elle répond "Oui".
Quelle est donc la couleur de ce chapeau ?
Une femme installée dans la salle d’attente d’un médecin interpelle sa voisine : "J'ai trois enfants. Le produit de leur âge vaut 36 et sa somme est égale au numéro de l’immeuble situé sur le trottoir d’en face."
La voisine se penche par la fenêtre pour lire le numéro de l’immeuble situé en face, puis elle répond : "Je vois. Mais ces informations ne me permettent pasde trouver l'âge de vos enfants."
La mère des 3 enfants : "L'aîné s’appelle Ernest."
La voisine : "Ah, très bien ! Alors je connais l'âge de vos enfants."
Quel est l'âge des 3 enfants en question ?
Pour les 5 chapeaux, si la première personne (A), voyait devant elle 2 chapeaux de couleur rouge, elle connaîtrait nécessairement la couleur de son chapeau. Elle voit donc devant elle l'une des configurations suivantes : B=>bleu et C=>rouge • B=>rouge et C=>bleu • B=>bleu et C=>bleu. Pour l'âge des 3 enfants, il convient de chercher toutes les décompositions de 36 comme produit de 3 nombres entiers, puis de calculer la somme des 3 facteurs.
Voici les réponses aux 2 questions
Si la première personne (A), voyait devant elle 2 chapeaux de couleur rouge, elle connaîtrait la couleur de son chapeau (bleue, puisqu'il n'y a que 2 chapeaux rouges). Elle voit donc devant elle l'une des configurations suivantes : B=>bleu et C=>rouge • B=>rouge et C=>bleu • B=>bleu et C=>bleu.
La deuxième personne (B) entend cette réponse. Elle sait donc que 3 configurations seulement sont possibles. Reprenons-les.
B=>bleu et C=>rouge • B=>rouge et C=>bleu • B=>bleu et C=>bleu.
Si elle voit un chapeau rouge sur la tête de la personne assise devant elle, son chapeau serait obligatoirement de couleur bleue.
Si elle voit un chapeau bleu sur la tête de la personne assise devant elle, rien ne lui permettrait de se prononcer quand à la couleur de son chapeau.
Puisqu'elle affirme ne pas pouvoir répondre à la question posée, c'est qu'elle voit un chapeau bleu devant elle.
La troisième personne, par déduction logique, sait qu'elle porte un chapeau de couleur bleue.
On sait que le produit des 3 âges des 3 enfants vaut 36. Écrivons toutes les décompositions de 36 comme produit de trois nombres entiers.
• 36 = 36x1x1
• 36 = 18x2x1
• 36 = 12x3x1
• 36 = 9x4x1
• 36 = 9x2x2
• 36 = 6x6x1
• 36 = 6x3x2
• 36 = 4x3x3
Pour chaque décomposition, calculons la somme des 3 âges.
• 36 = 36x1x1 => somme = 38
• 36 = 18x2x1 => somme = 21
• 36 = 12x3x1 => somme = 16
• 36 = 9x4x1 => somme = 14
• 36 = 9x2x2 => somme = 13
• 36 = 6x6x1 => somme = 13
• 36 = 6x3x2 => somme = 11
• 36 = 4x3x3 => somme = 10
Dans sa première réponse, la voisine indique que la lecture du numéro de l’immeuble d’en face ne lui permet pas de connaître l’âge des 3 enfants. Pourtant, elle connaît leur somme (le numéro de l’immeuble) et leur produit (36). Supposons que l’immeuble d’en face soit situé au n°10 de la rue. Puisqu’il existe une seule décomposition de 36 en 3 facteurs entiers dont la somme vaut 10 (4, 3, 3), la voisine aurait immédiatement trouvé l’âge des 3 enfants. Il faut donc chercher dans les décompositions de 36 en produit de 3 entiers celles qui donnent des sommes identiques de leurs facteurs. Le numéro de l’immeuble d’en face ne peut donc être que 13, puisque 13=9+2+2 et 13=6+6+1.
La réponse de la mère des 3 enfants permet alors de trouver la bonne réponse. En effet, la mère affirme que l’aîné s’appelle Ernest. On en déduit qu’il existe un ainé unique.
La décomposition 9, 2, 2 répond aux critères énoncés. Ernest a 9 ans, les deux autres enfants sont des jumeaux âgés de 2 ans.
