Jouer maintenantVoici deux défis logiques pour secouer les neurones
Trois amis prennent un pot à la terrasse d'un café. Le serveur apporte les consommations, accompagnées de l’addition, pour un montant de 25 €.
Chacun donne 10 €. Le serveur prend l’argent et revient quelques minutes plus tard avec 5 € en pièces de 1 €. Chaque convive récupère 1 €, et nos trois amis laissent 2 € de pourboire.
En définitive, chacun a donc payé 9 € (10 € donnés au serveur, moins 1 € récupéré sur la monnaie rendue par celui-ci). Au total, nos convives ont payé 27 € (3 X 9 €). Comme ils ont laissé un pourboire de 2 € au serveur, si l'on additionne 27 € + 2 €, on obtient 29 €.
Dans une ville d'Europe, quatre horloges installées aux frontaux de monuments célèbres sonnent régulièrement, mais pas au même rythme.
• La première horloge sonne toutes les 6 minutes.
• La deuxième horloge sonne toutes les 9 minutes.
• La troisième sonne toutes les 12 minutes.
• La quatrième sonne toutes les 15 minutes.
À midi précise (12h00), les quatre horloges sonnent en même temps.
Défi n°1 : relisez attentivement l'énoncé du problème. Essayez de trouver une faille dans les calculs proposés • Défi n°2 : souvenez-vous du principe de calcul du plus petit multiple commun entre plusieurs nombres entiers.
Solutions des défis
Tout est ici affaire de raisonnement et la solution réside dans la manière de présenter les choses.
Les 30 € donnés au serveur par nos convives se décomposent comme suit:
• 25 €, montant de l’addition
• 2 € de pourboire
• 3 € récupérés par les trois amis (1 € chacun)
Aucun euro n’est perdu ! Mais un mauvais raisonnement aboutit à un résultat erroné. On a tendance à additionner les 2 € de pourboire et les 27 € payés par les convives, alors qu’ils sont inclus dans les 27 € en question. Le total payé est de 25 € (le montant de l’addition) + 2 € (le montant du pourboire), soit 27 €, ce qui correspond bien à notre calcul : (10 € - 1 €) X 3.
Ce défi repose sur une illusion mathématique qui consiste à introduire une addition qui n’a pas lieu d’être. Notre instinct nous pousse à chercher l'euro manquant alors que c’est le raisonnement qui est tout simplement illogique.
Le problème revient à trouver le plus petit multiple commun (PPCM) des entiers 6, 9, 12 et 15.
Commençons par chercher les diviseurs premiers de chaque entier :
• 6 =2 × 3
• 9 =3 × 3
• 12 =2 × 2 × 3
• 15 =3 × 5
Le nombre que nous devons trouver doit être le plus petit entier divisible par 6, 9, 12 et 15.
Le facteur premier 2 doit être pris 2 fois, puisque 12 est divisible par 2 X 2.
Le facteur premier 3 doit être pris 2 fois, puisque 9 s'écrit 3 X 3.
Le facteur premier 5 doit être pris une seule fois, puisque 15 s'écrit 3 X 5.
Au final, le plus petit multiple commun est donc : 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 180.
Nos horloges sonneront à nouveau ensemble 180 minutes après midi, soit à 15h00 précises.
